사다리타기 확률은 공평할까? 원리와 직접 계산

사다리 타기는 규칙만 지키면 같은 결과에 두 사람이 도착하는 일이 없습니다. 모든 사람이 서로 다른 결과에 하나씩 연결됩니다. 다만 결과가 하나씩 나뉜다고 해서 확률까지 균등한 것은 아닙니다. 가로줄이 적거나 한쪽에 몰려 있으면 출발한 자리 근처의 결과가 나올 확률이 높아집니다.

예를 들어 3명이 하는 사다리에 가로줄을 무작위로 2개만 그으면, 맨 왼쪽에서 출발한 사람이 다시 맨 왼쪽 결과에 도착할 확률은 50%입니다. 균등하다면 33.3%여야 합니다. 이 글에서는 사다리가 1:1로 연결되는 이유와 결과가 치우치는 조건을 작은 예로 직접 계산해 봅니다.

사다리 모양과 관계없이 확률을 정확히 1/n로 만들려면 출발 자리를 무작위로 정하면 됩니다. 마지막에는 이 원리를 바탕으로 공정하게 진행하는 순서를 정리했습니다.

사다리 타기가 항상 한 사람에게 결과 하나를 연결하는 이유

사다리 타기는 세 가지 규칙으로 이루어집니다.

• 가로줄은 바로 옆에 있는 두 세로줄만 잇습니다.
• 한 세로줄의 같은 높이에서 왼쪽과 오른쪽으로 동시에 가로줄이 나가지 않습니다.
• 내려가다가 가로줄을 만나면 반드시 건너가고, 다시 아래로 내려갑니다.

이 규칙에서 가로줄 하나가 하는 일은 이웃한 두 사람의 자리를 맞바꾸는 것뿐입니다. 왼쪽 줄을 타고 내려오던 사람은 오른쪽으로, 오른쪽 사람은 왼쪽으로 건너갑니다. 두 길은 가로줄 위에서 엇갈릴 뿐 하나로 합쳐지지 않습니다.

맞바꾸기를 몇 번 하든 사람 수와 자리 수는 그대로이므로 마지막에도 한 자리에 한 사람씩 남습니다. 결과 쪽에서 위로 거슬러 올라가도 길이 하나로 정해지므로, 결과 하나에 출발점도 정확히 하나만 대응합니다. 수학에서는 이런 1:1 대응을 순열이라고 부르고, 사다리는 순열을 그림으로 나타내는 방법 가운데 하나입니다.

4명 사다리를 직접 따라가 보기

민수, 지은, 현우, 서연이 1~4번 줄에서 출발하고, 가로줄이 위에서부터 다음 순서로 그어져 있다고 하겠습니다.

1. 1–2번 줄 사이: 민수와 지은이 자리를 바꿉니다. → 지은, 민수, 현우, 서연
2. 3–4번 줄 사이: 현우와 서연이 바꿉니다. → 지은, 민수, 서연, 현우
3. 2–3번 줄 사이: 민수와 서연이 바꿉니다. → 지은, 서연, 민수, 현우
4. 1–2번 줄 사이: 지은과 서연이 바꿉니다. → 서연, 지은, 민수, 현우

최종 결과는 1번 서연, 2번 지은, 3번 민수, 4번 현우입니다. 네 사람이 서로 다른 결과에 하나씩 도착했습니다. 가로줄이 4개 있었는데도 지은은 제자리로 돌아왔고, 현우는 한 칸만 움직였습니다.

규칙이 깨지면 1:1 대응도 깨진다

한 세로줄의 같은 높이에서 양쪽으로 가로줄을 그으면 어느 쪽으로 건너가야 할지 정해지지 않습니다. 두 줄을 건너뛰어 잇는 가로줄이나 다른 가로줄과 교차하는 선도 마찬가지입니다. 손으로 그린 사다리에서 결과가 겹치거나 아무도 도착하지 않는 칸이 생긴다면 대부분 이 규칙 가운데 하나가 어긋난 경우입니다.

가로줄이 적으면 결과가 치우치는 이유

한 사람은 가로줄 하나를 만날 때마다 정확히 한 칸만 옆으로 움직입니다. 그래서 다음 사실은 항상 성립합니다.

• 1번 줄에서 4번 결과까지 가려면 1–2, 2–3, 3–4 칸에 가로줄이 각각 하나 이상 있어야 합니다.
• 어떤 칸에 가로줄이 하나도 없으면 사다리가 그 칸을 기준으로 둘로 나뉘어, 왼쪽 사람은 절대 오른쪽 결과에 도착할 수 없습니다.
• 가로줄이 많아도 한 칸에 몰려 있으면 나머지 사람들은 거의 움직이지 않습니다.

가로줄 최소 개수 n(n−1)/2의 의미

n명이 결과를 나눠 갖는 방법은 n!(1부터 n까지 곱한 값)가지입니다. 이 가운데 가장 많이 움직여야 하는 배치는 순서를 완전히 뒤집는 경우입니다. 이때는 모든 두 사람 쌍이 한 번씩 엇갈려야 하고, 가로줄 하나는 한 쌍만 엇갈리게 하므로 최소 n(n−1)/2개가 필요합니다.

이 숫자는 최소한 이 정도는 있어야 끝에서 끝까지 갈 수 있는 개수입니다. 이만큼 그으면 공평해진다는 뜻이 아닙니다. 아래 계산에서 보듯 3명에 3개를 그어도 결과는 37.5%, 37.5%, 25%로 치우치고, 4명에 6개를 그으면 제자리 확률이 약 36.6%로 균등값 25%보다 훨씬 높습니다.

인원이 늘수록 차이는 더 커집니다. 한 사람 입장에서 보면 가로줄 대부분은 자기와 상관없는 칸에 그어지고, 자기 칸에 걸려도 한 칸씩 왔다 갔다 할 뿐입니다. 그래서 고르게 섞이는 데 필요한 가로줄 수는 n(n−1)/2보다 훨씬 빠르게 늘어나고, 10명에 45개나 12명에 66개로는 눈에 띄는 치우침이 남습니다.

가로줄 수가 정해지면 나올 수 없는 배치도 생긴다

각 배치는 제자리에서 출발해 그 배치를 만드는 데 필요한 맞바꿈 횟수가 항상 짝수이거나 항상 홀수로 정해져 있습니다. 이를 순열의 짝홀 성질이라고 합니다. 가로줄 하나가 맞바꿈 한 번이므로, 가로줄이 홀수 개면 홀수 배치만, 짝수 개면 짝수 배치만 나옵니다.

3명 사다리에 가로줄을 정확히 3개 그으면 나올 수 있는 배치는 "두 사람만 자리를 바꾸고 한 사람은 제자리"인 3가지뿐입니다. 모두 제자리인 배치와 세 사람이 한 칸씩 돌아가는 배치 2가지는 절대 나오지 않습니다. 가로줄 수가 정해져 있으면 가능한 배치는 많아야 전체의 절반입니다.

3명·4명 사다리로 직접 계산한 확률

가로줄을 위에서부터 하나씩 긋되, 매번 모든 칸 가운데 하나를 같은 확률로 고른다고 가정합니다. 1번 줄에서 출발한 사람이 어디에 도착하는지 계산합니다.

3명, 가로줄 2개일 때

칸은 왼쪽(1–2번 사이)과 오른쪽(2–3번 사이) 두 개이므로 각각 1/2 확률입니다.

• 첫 줄 왼쪽(1/2) → 2번으로 이동. 다음 줄이 왼쪽이면 1번으로 복귀, 오른쪽이면 3번 도착
• 첫 줄 오른쪽(1/2) → 1번에 그대로. 다음 줄이 왼쪽이면 2번, 오른쪽이면 1번

따라서 1번 도착은 1/2×1/2 + 1/2×1/2 = 1/2, 2번 도착은 1/2×1/2 = 1/4, 3번 도착도 1/4입니다.

가로줄을 하나 더 그을 때의 계산 규칙

3명 사다리에서 가로줄이 하나 늘 때마다 각 자리의 확률은 이렇게 바뀝니다.

• 새 P(1) = (이전 P(1) + 이전 P(2)) ÷ 2
• 새 P(2) = (이전 P(1) + 이전 P(3)) ÷ 2
• 새 P(3) = (이전 P(2) + 이전 P(3)) ÷ 2

예를 들어 가로줄 3개일 때 P(1) = (1/2 + 1/4) ÷ 2 = 3/8이고, P(3) = (1/4 + 1/4) ÷ 2 = 1/4입니다.

가로줄 2개일 때 제자리 확률 50%는 균등값 33.3%보다 약 16.7%p 높습니다. 퍼센트와 퍼센트포인트의 차이는 퍼센트와 퍼센트포인트(%p) 차이에 정리해 두었습니다. 6개면 1/3에 꽤 가까워지지만 정확히 1/3이 되지는 않습니다.

4명이면 최소 개수로도 크게 치우친다

4명은 칸이 3개이므로 각 칸을 1/3 확률로 고릅니다. 1번 줄에 있는 사람은 1–2번 칸이 걸릴 때(1/3)만 움직이므로, 가로줄 1개 뒤에는 P(1) = 2/3, P(2) = 1/3입니다. 2개 뒤 P(1)은 2/3×2/3 + 1/3×1/3 = 5/9입니다. 같은 방식으로 이어서 계산하면 다음과 같습니다.

최소 개수인 6개에서는 제자리 확률이 반대쪽 끝보다 2.7배 이상 높습니다. 12개로 늘리면 차이가 많이 줄지만 여전히 25%에서 벗어나 있습니다. 가로줄을 늘리고 고르게 흩을수록 치우침은 줄어들 뿐, 완전히 사라지지는 않습니다.

이 계산은 가로줄 위치를 완전히 무작위로 고른다는 가정을 바탕으로 합니다. 손으로 그린 사다리는 긋는 습관에 따라 이보다 더 치우칠 수도, 덜 치우칠 수도 있습니다.

사다리가 치우쳐도 공평해지는 조건

출발 자리를 무작위로 배정하면 사다리 모양이 어떻든 각자가 각 결과를 받을 확률은 정확히 1/n이 됩니다.

3명 사다리가 이미 그려져 있고, 1번 출발은 꽝, 2번 출발은 당첨, 3번 출발은 꽝으로 이어진다고 하겠습니다. 누가 어느 줄에서 출발할지 제비뽑기로 정하면 각 사람이 2번 줄을 받을 확률은 1/3이고, 당첨 확률도 1/3입니다. 사다리가 아무리 단순해도 이 계산은 달라지지 않습니다. 결과 칸의 위치를 무작위로 섞는 경우도 마찬가지입니다.

반대로 정보가 한쪽에 있으면 사다리는 쉽게 불공평해집니다.

맨 아래에 가로줄을 하나 더하면 그 칸 양쪽에 도착하던 두 사람의 결과가 그대로 바뀝니다. 그래서 각자 가로줄을 하나씩 추가하는 방식은 결과 칸이 가려져 있을 때만 의미가 있습니다.

사다리 타기를 공정하게 진행하는 방법

결과를 정하는 사람, 가로줄을 긋는 사람, 출발 자리를 정하는 과정이 서로의 정보를 모르게 하면 치우침과 조작 가능성을 함께 줄일 수 있습니다.

1. 결과를 먼저 적고 가립니다. 종이라면 아래쪽을 접고, 화이트보드라면 종이로 덮습니다. 가로줄을 먼저 긋는다면 결과는 가로줄을 보지 않은 사람이 적습니다.
2. 다른 사람이 가로줄을 긋습니다. 결과를 모르는 사람이 모든 칸에 가로줄을 긋고, 높이도 위아래로 고르게 흩어 줍니다. 총수는 앞의 표에 나온 최소 개수보다 많을수록 좋습니다.
3. 결과와 가로줄이 확정된 뒤 출발 자리를 무작위로 정합니다. 이름 순이나 선착순으로 고르게 하지 않습니다. 핀볼 추첨에 참가자 이름을 넣고 나온 순서대로 1번 줄부터 배정하면 됩니다. 오프라인이라면 1부터 인원수까지 적은 쪽지를 잘 섞어 한 장씩 뽑아도 됩니다.
4. 확정된 사다리는 고치지 않습니다. 출발 자리를 정한 뒤에는 가로줄을 더하거나 지우지 않습니다.
5. 모두가 보는 앞에서 한 명씩 길을 따라갑니다. 1:1로 연결되므로 마지막 사람의 결과는 남은 칸으로 자동 확인됩니다.

온라인 사다리를 쓸 때

사다리 타기 도구는 최대 12명까지 이름을 넣을 수 있고, 이름을 누르면 길을 따라가는 과정이 화면에 표시되어 여럿이 함께 확인하기 좋습니다. 온라인이라도 결과 칸을 누가 언제 정하는지는 미리 합의해 두는 편이 안전합니다. 출발 자리를 위 3단계처럼 무작위로 배정해 두면 가로줄이 어떻게 놓였든 각자의 확률은 1/n이 됩니다.

사다리 타기 전 확인 체크리스트

• 모든 가로줄이 바로 옆 세로줄끼리만 잇고 있는가
• 한 세로줄의 같은 높이 양쪽에 가로줄이 붙어 있지 않은가
• 가로줄이 하나도 없는 칸이 없는가
• 가로줄이 위아래로 흩어져 있고, 총수가 최소 n(n−1)/2 이상인가 (하한일 뿐 공정성을 보장하지는 않음)
• 결과를 적은 사람은 가로줄을 보지 않았고, 가로줄을 그은 사람은 결과를 보지 않았는가
• 결과를 본 사람이 나중에 가로줄을 추가하지 않았는가
• 출발 자리는 결과와 가로줄이 모두 확정된 뒤 무작위로 배정했는가

빠른 참고: 이렇게 진행하면 당첨 칸이 k개일 때 각자의 당첨 확률은 k/n입니다. 6명 중 당첨 1개라면 1/6, 약 16.7%입니다.

자주 묻는 질문

사다리 타기에서 맨 끝 줄을 고르면 불리한가요?

끝 줄 자체가 유리하거나 불리한 것은 아닙니다. 가로줄이 적으면 끝 줄에서 출발한 사람은 제자리나 바로 옆 결과에 도착할 확률이 높을 뿐이고, 그 결과가 당첨인지 꽝인지는 결과 칸의 위치에 달려 있습니다. 출발 자리를 무작위로 배정하면 어느 줄이든 확률은 같습니다.

당첨 2개, 꽝 4개인 6명 사다리에서 제 당첨 확률은 얼마인가요?

출발 자리를 무작위로 정하는 등 공정하게 진행했다면 각 결과 칸에 도착할 확률이 1/6이므로 당첨 확률은 2/6, 약 33.3%입니다. 다만 가로줄이 적고 결과를 본 상태에서 출발 자리를 직접 골랐다면 실제 확률은 이 값에서 벗어날 수 있습니다.

각자 가로줄을 하나씩 추가하는 방식은 공정한가요?

결과 칸이 끝까지 가려져 있다면 아무도 유리한 정보를 갖지 못하므로 문제가 적습니다. 그러나 결과를 본 사람이 마지막에 가로줄을 그으면 맨 아래 한 줄로 이웃한 두 사람의 결과를 맞바꿀 수 있습니다. 결과 칸을 가리는 것이 이 방식의 전제 조건입니다.

사다리 타기와 제비뽑기 중 어느 쪽이 더 공평한가요?

잘 섞은 제비뽑기는 각자 1/n의 확률을 바로 보장합니다. 사다리 타기는 가로줄을 많이, 고르게 그을수록 1/n에 가까워지지만 정확히 같아지지는 않고, 출발 자리를 무작위로 정해야 사다리 모양과 관계없이 정확히 1/n이 됩니다. 사다리는 길을 따라가는 과정을 모두가 볼 수 있다는 장점이 있습니다.

사다리를 다시 그리면 결과가 매번 달라지나요?

가로줄의 개수나 위치가 바뀌면 연결 관계도 달라지므로 결과가 바뀔 수 있습니다. 반대로 같은 사다리라면 누가 언제 따라가도 결과는 항상 같습니다. 원하는 결과가 나올 때까지 새로 그리면 공정성이 떨어지므로, 한 번 정한 사다리로 진행하겠다고 미리 합의해 두는 것이 좋습니다.